Bàn về cái vô hạn trong toán học (P3)

PHẦN III: NGHỊCH LÝ THỨ HAI CỦA ZENON ( BÀI TOÁN VỀ ACHILLES VÀ CON RÙA )

Bài toán đó đặt ra như sau: Achilles là 1 chiến binh trong thần thoại Hy Lạp, chạy rất nhanh. Anh ta thấy 1 con rùa đi phía trước ( về phía xa ) và đuổi theo bắt nó. Khi Achilles đến được chỗ con rùa, thì rùa đã tiến lên được 1 đoạn. Achilles đi được 1 đoạn mà rùa vừa đi, thì rùa đã tiến lên thêm lên 1 đoạn mới. Cứ như thế mà rùa bao giờ cũng đứng trước Achilles, tức Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.

Giả sử ban đầu rùa cách Achilles 100m. Vận tốc của Achilles là 10m/s và của rùa là 1m/s.

Achilles đi 100m mất 10s. Trong khi đó rùa đi được 10m. Để đuổi kịp rùa, Achilles đi 10m đó trong 1s, thì rùa đã đi được 1m. Achilles đi đoạn 10m trong 1/10s, thì rùa đã đi được 1/10m Và cứ như thế mà Achilles đuổi rùa. Vậy thời gian Achilles đuổi kịp rùa là tổng vô hạn:

S = 10 + 1 + 1/10 +1/100 +…

Tổng này là một cấp số nhân lùi vô hạn có S = 11+1/9s, là một con số rất “hữu hạn”. Vậy Achilles đuổi kịp rùa là hiển nhiên!

Vấn đề “vô hạn” là vấn đề mà từ nhiều thế kỉ nay các nhà toán học rất quan tâm, vì nó thiên hình vạn trạng, len lỏi vào khắp các lĩnh vực.

Ngày nay ta đã có nhiều công cụ toán học sắc bén để giải quyết vấn đề một cách đầy thuyết phục, bằng lý luận cũng như bằng thực tiễn.

_HẾT_