Bàn về cái vô hạn trong toán học (P2)

PHẦN 2: NGHỊCH LÝ THỨ NHẤT CỦA ZENON

Ta hãy xét nghịch lý thứ nhất của Zenon, khẳng định rằng “Sự chuyển động là không thể thực hiện được”.

Zenon lập luận như sau:

Muốn đi từ A đến B phải đi qua trung điểm AB. Muốn đi đến trung điểm AB phải đi qua trung điểm của phần còn lại v.v….. Quá trình “qua trung điểm của phần còn lại” không bao giờ chấm dứt, vì phần còn lại bao giờ cũng tồn tại” Vậy thì không thể nào có chuyển động được để đi từ A đến B.

Lập luận của Zenon dựa trên cơ sở: “Tổng vô hạn của các số hữu hạn là vô hạn”.

Ta thử xem điều đó có đúng không?

Nói chung, điều đó là đúng. Ví dụ tổng 2+4+6+8…là tổng vô hạn vì nếu gọi Sn là tổng của n số hạng đầu tiên thì rõ ràng S1 < S2 < S3 <….< Sn < S(n+1)….

Cứ cho một số M lớn đến mấy ta cũng tìm được một số n sao cho Sn>M. Vì lí do này mà các nhà toán học nói rằng: ”Tổng của dãy vô hạn này là vô hạn”.

Trở lại bài toán của Zenon. Giả sử khoảng cách AB là 100m và giả sử vận tốc là 100m/phút. Đoạn đầu (tức là nửa đoạn AB) đi mất 1/2 phút. Đoạn thứ hai(1/2 đoạn còn lại) mất 1/4 phút. Đoạn thứ ba mất 1/8 phút và cứ thế mà tiếp tục. Vậy muốn đi từ A đến B phải đi số thời gian bằng tổng

Sn= 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 +….+ 1/2n

Tổng của dãy vô hạn này có vô hạn không? Tổng này tăng lên khi số số hạng tăng lên, nhưng ta không thể làm cho số đó lớn hơn một số bất kì cho trước. Biểu diễn bằng sơ đồ các tổng S1, S2, S3,….., Sn ta thấy rằng tổng đó sát tới 1, mà không bao giờ vượt quá 1.

S1
_________________________

S2
__________________________________

S2
____________________________________________
.
.
.
.
Sn
___________________________________________________________ /1

Nói một cách chính xác : Cho trước một số dương nhỏ K tuỳ ý , ta có thể tìm được một số n mà:

|1 - Sn| < K

Ví dụ như cho trước 1/1000000, ta tìm được n=20 để |1 - S20|= 1/1048576 < 1/1000000.

Như vậy ta đã thoát ra khỏi cái bẫy vô hạn này một cách vinh quang! Các nhà toán học nói rằng “Tổng của dãy vô hạn này có giới hạn là 1”.

Như vậy thời gian để đi từ A đến B không phải vô hạn mà là bằng 1 phút. Như vậy cái thuyết ”Sự chuyển động không thể thực hiện được” của Zenon đã bị bác bỏ bằng lý luận và thực tiễn.